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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 f;w<U^`W4  
d^ 1It1  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. }#N&;K  
_NF-W\ <  
　　1、三角函数本质： +z[fdL|-  
~}i[lY'{  
　　三角函数的本质来源于定义 #V.L~k@z8Q  
6K$;-xJdi^  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 cB,VFx  
jJudeZx[  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 '+sW\ ]-  
A^ 6TRN}Y  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： A6J7mz  
Bo \CM  
　　推导： p4o1B~j  
;I w\=Pm=h  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 ~Wc\#g.U}  
2*e(IM"  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) Ws VO \t  
U:^m }1z#  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) 3V T;:pU  
`J@|>W}f  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 <Ws!IK@Sl  
F~xB^d/  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） acLf6Si-o  
itr$rYxYE  
　　[1] ,TrWLOa@  
&1/GX L3Y  
　　两角和公式 \9ly/PKo  
JOa}N SM  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 9XJ\ #G  
25XsJ'2\  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  LH;pUs  
/vgo0gNG  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB 0h_~Yc&'  
C@bnDa|d>  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB QmFhStsH  
aOu#^%zH}g  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) Fx3kl`_y  
)Er=J8"7'  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 2@ZY_y l`  
k tmfy1XN>  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  Oq?vsKN_  
ez7;,l?P%  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) ![o,K~  
;I}Se*sMp  
倍角公式 #G _v<g[R  
Z8mt|e @  
　　Sin2A=2SinA•CosA P~ \o([  
mb0KZ  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 = x*`j,  
:&+kT8 H  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） ql% /IJ  
+K8^zKb  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） ^XX6%||S  
; F:m}Z0y*  
三倍角公式 Hc,!)'o`h  
\M\YfN_PD  
　　 U-]EDd  
 cUBO6g4y  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) Y^E99+;7i  
ICBgddhdm  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) e_K2u }  
Akc%0 -  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) [WM2,^8  
zUws< /  
三倍角公式推导 8)"Oq~  
8$eqe oeA  
　　sin3a 7;Idw].  
e[?<C_wu  
　　=sin(2a+a) M]M))^A#4`  
4` dQczJ_U  
　　=sin2acosa+cos2asina *7ptX,gP  
D*;N_ k9/  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina |;/aUQ~  
4NW`  
　　=3sina-4sin³a 4&vcz7OEF  
ps2 ,  
　　cos3a _Te`5.   
\mR`ap  
　　=cos(2a+a) dlIG8<HTY  
I^q} %9bH  
　　=cos2acosa-sin2asina ?M4?A.,   
;i.L@y  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa ++ !Sm^c%  
kF\ <2|  
　　=4cos³a-3cosa H %=8E#lEj  
 :uw;=x  
　　sin3a=3sina-4sin³a J0R7 xwz &  
^s`YCT*]E  
　　=4sina(3/4-sin²a) ^8>=y"b~  
#;ttc !  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] CV}I=X  
GO d7a2  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) *r[OhN~  
_.GT`6m1$  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) (3_@*   
U{u EtB  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] 0$BA\V  
V:Ey jJiKh  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) O0Opi;  
'&\5|@Jup  
　　cos3a=4cos³a-3cosa w>=xA%q4  
C]/p+=tZa_  
　　=4cosa(cos²a-3/4) ?xU8q5H  
Y 9Vh& P&  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] (`o /h&26!  
zV{HiD1S  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°)  .|shs  
9f7,Kv%xv  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) ]b%8%lut  
xJb2rH  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} #?!Nb:dF$  
c1> u*$  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) j0pSa4 'r  
3<H0GU=SVy  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] a,37@'5  
k'3X-Zp{  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] ?B[*XJae  
-S&Hrs.K  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) drLW4I7nI  
#Gz/'P  
　　上述两式相比可得 ,~W=l{Z9[  
2/MR|[X  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) QbQ/0MRu  
9BY!bW|  
半角公式 MV]]M  
J]ZGqS\  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); k $V.k O5w  
B4-> \35>  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. b;4dwG   
x=oD  
和差化积 Q$vSg=*  
zuHo8o  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] I&s4&hPW  
1]0f]3  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] O_3#~a549  
4=h 3T5!bh  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] T!uNt*E<  
pZ!1B7"O  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] Tv# A=m}  
71aOb-b  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) X@(Ogz8o  
ASAKLWz  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) R~W3JZ  
Rcj&i}F  
积化和差 Hp%g,pa<z  
*(.k{Ids  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] c.]w)]  
zX5xf\{  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] !=^7Cf!g  
qJ"Btp"}sv  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] pCcClFt  
Lt<;AXO3  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] H wG6wL<E  
{fc7at+|%  
诱导公式 @B nZ%6u  
C\)-8N`  
　　sin(-α) = -sinα "2V9K>4  
P+ gR[Ts  
　　cos(-α) = cosα E\YT1\r!A  
]"xj'<|W  
　　sin(π/2-α) = cosα C2uu \R4_i  
f6I>c V[  
　　cos(π/2-α) = sinα Q'u0 et  
GvUjlPQ]  
　　sin(π/2+α) = cosα *K` LF#B  
 R`aKY  
　　cos(π/2+α) = -sinα En$:ru;*  
O_}Rk +m  
　　sin(π-α) = sinα jq06g  
($/g!6W  
　　cos(π-α) = -cosα h'$p9oGw  
'r+IX&gZAE  
　　sin(π+α) = -sinα #6O/r>h3-  
sGp$Zki  
　　cos(π+α) = -cosα ub&A #y|  
_P_Kt~*YM  
　　tanA= sinA/cosA uPq?\8{h*  
q<o(p  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα Y4qyrX0a  
g/ I+aNA!  
　　tan（π/2－α）＝cotα MzjLRV>pqS  
`BZ}d~~l  
　　tan（π－α）＝－tanα i}wcuE  
5#Ral#D  
　　tan（π＋α）＝tanα I#npUV  
? ?}`:u  
万能公式 u*^Ef.=xf  
YobJ'+d  
　　 \t,l$U^  
,2'1#'U@  
其它公式 w:(3pujN  
:9m_K>pJ  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 9pvDFM  
d#,A}3  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 {"j EL  
b{A,L  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 M=/"G*A  
hPM|N>QC  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 [kw~f9>  
fVy[[V]3  
　　对于任意非直角三角形,总有 ]t.(l<Q"  
+iJjXEz}|  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 7|7(j| |X  
8lKS1ACO4  
　　证: r3 @ Yk2  
j%_ WtV  
　　A+B=π-C eo {-#yD  
]MYUlRP  
　　tan(A+B)=tan(π-C) plxO&oD`B  
_>Z$R ~~  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) rdSPrmvJ  
FNCU2b !  
　　整理可得 8;cbV Q|  
&% 70Zq-  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 1RTdaL: j  
gSA)e3Y  
　　得证 ^P| GUCHV^  
\\9n}anL  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 P[04X9G  
U_+vzQV{  
其他非重点三角函数 J^,f_dA  
R&U8%59g  
　　csc(a) = 1/sin(a) 95K|gRrB,  
hJ cV  
　　sec(a) = 1/cos(a) ~ }BV*nu[  
/!K;p%c50U  
　　 ]vb|gf*^  
oz,}z{4`  
双曲函数 n)+;_{-ZO  
O=e%${  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 6\KL7w  
7"085*Cp4  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 l, {w/M"  
mMU8{)]07  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) Y`:.p<&;=d  
&t_,(.=  
　　公式一： l1q3V  
qSWa&uX  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： ^tA&\\6  
='69:Sr  
　　sin（2kπ＋α）= sinα <wN at  
8%yZeHY  
　　cos（2kπ＋α）= cosα LYc]T%.  
/#_^@ JT  
　　tan（kπ＋α）= tanα zS@bg;Sa  
e)*F<C[(  
　　cot（kπ＋α）= cotα l;Ab!P^X  
=ZJTQ9)qx  
　　公式二： 1O>(Uc)'0  
{;W87&2  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： Ybuq3+vl   
+O91]:u  
　　sin（π＋α）= -sinα Waa]4  
Z]0p>-CJ  
　　cos（π＋α）= -cosα "@4MjB?  
Q:9}K\iGD  
　　tan（π＋α）= tanα 2})6 r:}]  
t_\yxb#  
　　cot（π＋α）= cotα bh'[2.4#x  
` x5)9  
　　公式三： ESv!vkC  
Y' A X  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： &ID;u~PU 4  
/ P'XjOb3  
　　sin（-α）= -sinα &> M$vqHL  
"b[!d '  
　　cos（-α）= cosα ;aDPESvh]  
|"T2Kok|S  
　　tan（-α）= -tanα gHKbips^  
RF~mELW  
　　cot（-α）= -cotα [J+izE  
F[@XrVR_Q  
　　公式四： hg hOx)U  
}UYr>"+-  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： 5m}3{cL  
>gz1sgq  
　　sin（π-α）= sinα Z 0{;;LU  
p%%Q8  
　　cos（π-α）= -cosα b2eFU}x Y  
v5+F+d  
　　tan（π-α）= -tanα HP8I#.n=b  
A G*T)  
　　cot（π-α）= -cotα I 7@w-F{f  
^ i V"g|d  
　　公式五： 06s07 r  
}1  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： >M TS5I]  
"TS^ofh  
　　sin（2π-α）= -sinα s{=lX"/uZh  
C 5ar.C#n`  
　　cos（2π-α）= cosα /cr<13s  
G# h?\z  
　　tan（2π-α）= -tanα .y.s  ZY  
tH2 kd"+  
　　cot（2π-α）= -cotα k3b4`["  
mGe-[[KnE  
　　公式六： |RKeW&@;*  
gWB3c3  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： JZUMcV 3  
Pop\'~j"]  
　　sin（π/2+α）= cosα a\q0YmFLJ.  
b*SzT!1-  
　　cos（π/2+α）= -sinα DqMWX[  
Fr t&WU  
　　tan（π/2+α）= -cotα w z0r-&~  
2U^A\8^  
　　cot（π/2+α）= -tanα ['dbDAE  
 C=1x +  
　　sin（π/2-α）= cosα SWj<hN  
'X/ NM9  
　　cos（π/2-α）= sinα ,*w  aZ^  
{ZdKT|$"  
　　tan（π/2-α）= cotα * qW9  
L6oyLLl?  
　　cot（π/2-α）= tanα 1(Fj$|TU'0  
c3VI#,)  
　　sin（3π/2+α）= -cosα VOZa w}  
Hv,$\q  
　　cos（3π/2+α）= sinα )DI8Uj &  
\KuG^y7  
　　tan（3π/2+α）= -cotα E_h]@>;|  
] 7@4  
　　cot（3π/2+α）= -tanα \El D> C  
[ihjBH  
　　sin（3π/2-α）= -cosα OP#i4d<GJ|  
0 `Vv|d7  
　　cos（3π/2-α）= -sinα  Yi3xzJ  
 Ey`H  
　　tan（3π/2-α）= cotα sQm%qqO  
U-^^]Sq  
　　cot（3π/2-α）= tanα 4Q&uq%a  
jHbc @G4bL  
　　(以上k∈Z) wQhV(,6?  
?q&1\8:  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 SeB9!gJ0  
Ik48l|+\  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = ]pZalXhW  
'GGs%n!6  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } x X@L\<\  
1kj.7S_dS  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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