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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 _yt- Etl ,  
y\<@W5J  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 2}VBZ p b  
`WB)S"'TEY  
　　1、三角函数本质： >1 ~e]&^  
>TZTBpYo  
　　三角函数的本质来源于定义 VWI|5|Ym`  
2 &K<EY|  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 aJ|hyNf/  
.sa28dF8   
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 a982gIZ  
>wex@xIw  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： FZZ4vd  
nC!$a6g f  
　　推导： l5NRfjV  
N24 g?v8 "  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 ,g,S_wJ  
9?ZW *  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) %j W50  
!|XP7S&'  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) &[S=-}eex  
kHqKvfv'~  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 5GIg/zO{  
>8ICAa'2  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2）  4Uj)83k  
>([t$Tj0l  
　　[1] p'UB:{0  
NENVP4&k  
　　两角和公式 "{WUA!H$  
?aj{`Wj@H  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB i`oA5[R_  
i Ede mdv  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  saE{Yf  
[#N$w\C  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB  UL_'\\  
]wIM X*G  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB v(cZu=N  
D0#p0~aKv  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) h{z@{r  
Q-Dx{,Q  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) af CW6=  
BZarpdW  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  I"q)3yn'  
WRBc{^qQ:  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) D:aVHTxkHl  
Lvqhy,~7  
倍角公式 e?$ (lwW%&  
RKwN"[+  
　　Sin2A=2SinA•CosA ':hGZ\9/  
dl zs1   
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 N[GP9F`  
*o5<5,wn  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） iV>WZ)z`  
a<G&KKC  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） dE6/StxK  
>%e3\+:  
三倍角公式 7->B&dE  
e6<gAP>g  
　　 +L5rCPgkJ  
eDbiZ] /  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) F]c4dpaBr  
;~{)5~E.  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) X+|oVp  
Umt~F'  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) D ) V*D%  
CzYZX@  
三倍角公式推导 Xit}|!  
`XJgE#{C  
　　sin3a lTux+ r4  
C +wf F;p  
　　=sin(2a+a) #[QB4RtfZ  
R=s7,y  
　　=sin2acosa+cos2asina =Y*xB\h-  
ahQ&anz.  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina ]ShpMY=d  
wV7v89%  
　　=3sina-4sin³a R$b.,b(|-  
G`JY wcj[B  
　　cos3a @HqdfQbq  
0:, bp;  
　　=cos(2a+a) @z&GI#hD  
Pk W p1s  
　　=cos2acosa-sin2asina GXdY  
=r.b\"  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa qfMb-'e  
u><(ea[ow  
　　=4cos³a-3cosa C 4y#^  
X *s0R  
　　sin3a=3sina-4sin³a )/'6E:  
bz|GG OzOb  
　　=4sina(3/4-sin²a) hW#{6n  
gJ$hlbn  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] <m3 Q.m  
P=jQ{~}RE  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) TQx\ NBUO  
O#MAG:e;  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) eO c plT  
sdZ%{  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] mmN u  
_$Gj}h$.  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) S+|zC0z  
bsO^YQYU  
　　cos3a=4cos³a-3cosa r)<35U|;  
b'67[w$r  
　　=4cosa(cos²a-3/4) 2xB$7ZZUc  
86ml?!U7  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] V|\z{t$10+  
xvjV X>CO  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) ^Mu!E@  
A0a@vZ+'V  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) n*qg+>  
F5{w=g3  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} #=lN{TU$  
GJ[I.<  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) [Bhl;]C  
#4a2U>8U  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] QHo``G-n-  
^8,#B)D&  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] s-qr8Np  
MpjzUK'Q  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) B4Oe2k>=  
cP"{+d[  
　　上述两式相比可得 ~hb!sF  
L =Ld  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) wg+E6xF5V  
w/4:g/\s  
半角公式 fFX):?`  
pc}8_'y  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); WUX=EF^ J  
Yy~~; 6h  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. =tX3_MHc  
MNq<%)t4e  
和差化积 `d&y;3 s  
S}S W]@y.  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] Qq Bn- W+  
.7Ae}[a}j  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] {1x8.Ty  
;e.4hX\kb  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] LkM?$ $  
5zF<hT\  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] n~~G@MV  
+`7bCY5/8  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) Q*f"@obL  
18U6r  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) -`[a9i  
2QB O2  
积化和差 J;%_/*5  
Nx@qb]S!  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] * /_J!#  
`Y6Y<PG8  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] C1 u?"  
h*sZGA0ok  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] lGVt*G/+  
fD[$&4u  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] &G^MlIJ  
(&nc.u5  
诱导公式 ]?3_f  
> c]% _  
　　sin(-α) = -sinα ~[tEeO  
~9|Id7s`  
　　cos(-α) = cosα z4N'>  
iJG@ 9*>  
　　sin(π/2-α) = cosα X]nA'm kf  
Zmg;cF &?  
　　cos(π/2-α) = sinα ,o@evU  
AXnOlQ   
　　sin(π/2+α) = cosα 4cBiD{qC>O  
IF}.8%XEj  
　　cos(π/2+α) = -sinα .]8_O  
5mFU)@fNo  
　　sin(π-α) = sinα gxeRfy  
C]q.Yll  
　　cos(π-α) = -cosα omMSJu.  
~vzS1  
　　sin(π+α) = -sinα 25bXl "  
^`bVX? Y  
　　cos(π+α) = -cosα [Om(ZP8  
=+X=P#zh  
　　tanA= sinA/cosA TXJGqCDp*  
{ LZ7Qb;PR  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα *Hu M&dq  
<XIsJVndB  
　　tan（π/2－α）＝cotα z!Zs7'vM  
ZCA<#Y{  
　　tan（π－α）＝－tanα N%YF~i;  
Rf/9AA$0Yp  
　　tan（π＋α）＝tanα 5x(T{j P  
WY+- (UuC  
万能公式 [ v\X{:  
^f*G{D1rgl  
　　 v:H^W kw  
Y?$zj`<  
其它公式 >sf]Web  
,s(p;,/}  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 q6wt n706]  
lB{,@LE  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 @@V:F8z  
?b`>e:H=9  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 @Ps#Py2~!  
y Vq*>g  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 1Hb<8WYPK  
YE4SCY  
　　对于任意非直角三角形,总有 tC C*/l]  
![bgV:,F4!  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC !:=<u!hI  
A NKc3  
　　证: 1w B^.  
<l2hd;@O1  
　　A+B=π-C 0uC&}V  
y'b}2M6l  
　　tan(A+B)=tan(π-C) b^>/$2A&nj  
7 y#$  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) w[3L> 0!G  
IP^7|N0[  
　　整理可得 /%UGXL2  
wf0oVp`t\  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC zT 5hL  
 6 7`  
　　得证 ,<^SeO$(4  
3rX`#_ N  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立  .#TDAF  
y`}&d H  
其他非重点三角函数 6!mr! k1=7  
qm8_%W3\  
　　csc(a) = 1/sin(a) T*C8Yq  
~upDYE=Y  
　　sec(a) = 1/cos(a) <a3^jKx  
?!H9  
　　 })acO6}  
!{rM~Je  
双曲函数 wqmMfw  
ju4tf{L8]  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2  \5#(=~,  
6:9vnZ  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 .6A}yT  
Qk=9z_V`  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) ^:j(r  
{=gNg^T  
　　公式一： 14>%#h9*@  
B NXO{[ 1  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： c5(Yn1z  
0s[) ?`  
　　sin（2kπ＋α）= sinα SJ,iov+Q  
NB=*L?  
　　cos（2kπ＋α）= cosα 3*z<<dW  
.}Px|6G  
　　tan（kπ＋α）= tanα 9jHgDJ;k(S  
R\i'`n  
　　cot（kπ＋α）= cotα wBf|  
7>Da \#0  
　　公式二： Wn[DlA  
DU_6Dp7  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： 7>"r}oI  
z0I(Zr:8  
　　sin（π＋α）= -sinα M L uv/x  
l3=`#8;  
　　cos（π＋α）= -cosα %=A>Ask^  
B.vW7n1h a  
　　tan（π＋α）= tanα Y`PZJ"  
-R o ;xA  
　　cot（π＋α）= cotα ^sUHyQ`  
#0Em4%g-  
　　公式三： H9*/`-Y  
8}f**;n7b  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： wY{[h/[No  
aM<_J,/3  
　　sin（-α）= -sinα YA88S6 J  
|z" ?:  
　　cos（-α）= cosα O!`Un;`2  
<$UX E 7  
　　tan（-α）= -tanα Fn,`LWR/O  
#,9vnKn^~  
　　cot（-α）= -cotα V<PY E2j}u  
52W6:E)  
　　公式四： | R(O},4$  
p+1Ew +@;  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： e2f<xH^  
l%!BT~  
　　sin（π-α）= sinα =fU"{g :  
UR@3:We  
　　cos（π-α）= -cosα &L!FhEq  
^T2:7s'!  
　　tan（π-α）= -tanα $(h91g  
Nr?+j {x  
　　cot（π-α）= -cotα n915o^m  
]s.i)Rm1`  
　　公式五： P?rF?[y@  
Lw1^*19  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： M_X:^ G^Ok  
F >qG SI  
　　sin（2π-α）= -sinα 4T*+ 4C -  
fc '2\Cx  
　　cos（2π-α）= cosα She4=1T  
:t Mkj4z$  
　　tan（2π-α）= -tanα fTdS'?_c  
Ek>i8rF<_  
　　cot（2π-α）= -cotα *4SA{U  
rrF<HbF  
　　公式六： }7[K]S`  
V[tgIY\  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： '5Lz:'/  
e1aymvh?   
　　sin（π/2+α）= cosα 9#NY_  
"9- MJW+  
　　cos（π/2+α）= -sinα g`^FSTtFy  
7nRZIH?  
　　tan（π/2+α）= -cotα SbyIep  
A}js \2$  
　　cot（π/2+α）= -tanα <UZE6Cuqh  
BVP6iyOZ  
　　sin（π/2-α）= cosα $@&2 ?V0  
Rj1N`SA  
　　cos（π/2-α）= sinα ,N6CxB&  
592}E DH  
　　tan（π/2-α）= cotα U8Ej5l!  
iYIVS!xc  
　　cot（π/2-α）= tanα i/,7`&*^  
!{*0 yki  
　　sin（3π/2+α）= -cosα 17\9^q:L  
dHq}eUi $  
　　cos（3π/2+α）= sinα Gcqv gi51  
p2uqE-)v  
　　tan（3π/2+α）= -cotα 8@=|+nIO;  
7X|vOiI!@?  
　　cot（3π/2+α）= -tanα A W],p  
;/T?];S  
　　sin（3π/2-α）= -cosα < Ol*X  
<zRy^t=  
　　cos（3π/2-α）= -sinα 9j.p;"]!"D  
(nPa|(  
　　tan（3π/2-α）= cotα GdqPz  
H7a~  
　　cot（3π/2-α）= tanα vKBR{_NI  
k!'du&y  
　　(以上k∈Z) .ef1o.["  
S:NFuB v:  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 0=Mw %K  
`uckg8t6<  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = X lMP<J%F  
[MKBhFfb  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } 7a6(c o  
]\r.81D0  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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